Установить наличие причинной связи между распространением сведений, порочащих Вашу честь и достоинство, и болезнью с помощью свидетельских показаний не удастся, поскольку данный вопрос лежит в плоскости медицины и для его разрешения требуются специальные познания. Тем не менее привлечь свидетелей все-таки стоит для дополнительного подтверждения Вашей позиции.
Что касается порядка назначения и проведения экспертиз, то экспертиза может быть назначена и проведена в порядке ст. 79 Гражданского кодекса (т.н. «судебная экспертиза») по ходатайству лица, участвующего в деле.
В этом случае учреждение, в котором будет проводиться экспертиза (либо кандидатура конкретного эксперта), равно как и круг вопросов, которые подлежат разрешению в рамках судебной экспертизы определяется судом с учетом мнения сторон, каждая из которых вправе представить свои вопросы, а также просить о назначении экспертизы в конкретном судебно- экспертном учреждении.
В вашем случае с целью минимизировать сроки проведения экспертизы целесообразно заявить ходатайство об истребовании истории болезни, из медицинского учреждения в котором Вы проходили лечение для приобщения к материалам дела и последующей передаче эксперту.
Возможен и другой вариант, не связанный с назначением экспертизы непосредственно в судебном процессе.
Вы можете обратиться к независимому эксперту (в негосударственное учреждение, эксперты которого обладают соответствующей квалификацией) самостоятельно и представить заключение в суд в качестве доказательства, и суд будет вынужден дать ему оценку. В случае если другая сторона не будет оспаривать представленное заключение, и не будет просить назначить судебную экспертизу, и у суда также не возникнет сомнений в ее достоверности, то такое заключение будет являться надлежащим доказательством по делу.