Да, при совместном ходатайстве об экспертизе суд должен был возложить расходы на обе стороны. В соответствии с частью 1 статьи 96 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации денежные суммы, подлежащие выплате экспертам и специалистам, или другие связанные с рассмотрением дела расходы, признанные судом необходимыми, осуществляются стороной, заявившей соответствующую просьбу. В случае, если указанная просьба заявлена обеими сторонами, требуемые суммы вносятся сторонами в равных частях.
В данном случае возможна подача частной жалобы на Определение суда о назначении экспертизы в части неверного возложения обязанности по несению расходов на Истца.
Согласно ст.104 ГПК РФ обжалование определения суда о назначении экспертизы в части распределения судебных расходов может быть обжаловано в апелляционном порядке.