Как следует из Вашего вопроса, имеется вступившее в законную силу решение суда, согласно которому государственное учреждение обязано предоставить Вам квартиру в собственности. Если в резолютивной части решения суда (либо в определении суда о порядке исполнения решения, если таковое имеется) на Вас не возложено обязанности предварительно сниматься с регистрационного учета по месту пребывания, то ФГУ не вправе ставить исполнение решения суда в зависимость от совершения Вами каких-либо дополнительных действий.
Вы вправе обратиться в службу судебных приставом с заявлением о возбуждении исполнительного производства с приложением к нему исполнительного документа. В соответствии со ч. 8 ст. 30 Федерального закона «Об исполнительном производстве» судебный пристав-исполнитель в трехдневный срок со дня поступления к нему исполнительного документа выносит постановление о возбуждении исполнительного производства либо об отказе в возбуждении исполнительного производства. Согласно п. 1 ст. 36 указанного Закона по общему правилу содержащиеся в исполнительном документе требования должны быть исполнены судебным приставом-исполнителем в двухмесячный срок со дня возбуждения исполнительного производства,
В силу ст. 6 указанного Закона законные требования судебного пристава-исполнителя обязательны для всех государственных органов, органов местного самоуправления, граждан и организаций и подлежат неукоснительному выполнению на всей территории Российской Федерации. Невыполнение законных требований судебного пристава-исполнителя со стороны ФГУ повлечет ответственность его должностных лиц.