С учетом положений ч.3 ст.16 ТК РФ трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен. Таким образом, если Вас допустили к работе с ведома работодателя, трудовые отношения считаются установленными даже без оформления необходимых документов.
Несмотря на нарушения, допущенные работодателем при приеме на работу, в дальнейшем указанные ошибки были им устранены, поэтому при увольнении по собственному желанию Вы в силу положений ч.1 ст.80 ТК РФ обязаны предупредить об этом работодателя не позднее чем за две недели.
Расторжение договора с Вами ранее указанного срока является правом работодателя, но не обязанностью.