Из Вашего вопроса не совсем ясно зарегистрирован ли отец в таком качестве органами ЗАГСа. Если нет, то до момента такой регистрации (в добровольном или судебном порядке) ни каких взаимных прав и обязанностей между биологическим отцом и ребенком не возникает.
Если же такая регистрация произведена, то отсутствие регистрации брака между его родителями ни как не влияет на родительские отношения отца и ребенка. Такой отец имеет все права и несет все обязанности по воспитанию и содержанию ребенка. Аналогично не предусмотрено каких-либо ограничений прав ребенка по отношению к своему отцу, который не состоит в браке с его матерью.
Такой ребенок имеет право на получение содержания от своего отца (статья 80 Семейного кодекса РФ). В случае, если отец не предоставляет содержание ребенку, средства на его содержание (алименты) взыскиваются в судебном порядке.
Также такой отец может возражать против выезда ребенка за границу, что предусмотрено статьей 21 федерального закона "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"от 15.08.1996 №114-ФЗ. В таком случае вопрос о возможности выезда несовершеннолетнего из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.