В соответствии с ч.1 ст. 79 Трудового кодекса РФ срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия. О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения. Затем в обычном порядке издается приказ о прекращении действия трудового договора с работником, соответствующая запись вносится в трудовую книжку, совершаются другие предусмотренные законодательством действия, связанные с оформлением прекращения трудовых отношений (ст. 84.1 ТК РФ).
Следует обратить внимание на то, что прекращение срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия возможно не автоматически, а лишь в случаях, когда хотя бы одна из сторон выразит по этому поводу свою волю. Иными словами, в таких случаях должна присутствовать инициатива работника или работодателя либо инициатива обеих сторон. Судя по ситуации, описанной в Вашем письме, работодатель не воспользовался указанными правилами прекращения срочного трудового договора в связи с временной нетрудоспособностью Вашего мужа.
Если ни работодатель, ни работник не потребовали расторжения срочного трудового договора в связи с истечением его срока, а работник продолжает работу после истечения срока трудового договора (в данном случае, несмотря на временную нетрудоспособность, формально работник считается продолжающим работу, поскольку трудовые отношения не прекращены), то трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок (ст. 58 ТК). В таком случае трудовые отношения сторон фактически продолжаются и основание для расторжения трудового договора, предусмотренное для срочного трудового договора в ст. 79 ТК, отпадает.
По-видимому, осознавая эту ситуацию и не желая нарушать действующее законодательство о труде в части особенностей прекращения срочного трудового договора, работодатель просит написать заявление об увольнении по собственному желанию. Если Ваш муж действительно хочет уволиться, то он вправе написать заявление об увольнении в связи с выходом на пенсию. Если же у него нет такого желания, расторжение трудового договора с ним возможно по соответствующим основаниям, установленным ТК РФ, как с работником, заключившим трудовой договор на неопределенный срок.