В Вашей ситуации можно отметить несколько моментов.
Во-первых, трудовые договоры не должны заключаться ежегодно. Трудовой договор, по общему правилу, заключается на неопределенный срок (бессрочно). Для заключения срочного трудового договора нужны определенные основания, которые прямо указаны в Законе, а именно в ст. 59 Трудового кодекса РФ. Так, срочные трудовые договоры могут заключаться с руководителями, заместителями руководителя организации, с работниками, работающими у индивидуальных предпринимателей, с творческими работниками средств массовой информации, театров и др. Но ни одно из оснований ст. 59 ТК РФ не позволяет заключать срочный трудовой договор с постоянно работающим учителем школы. Если Вы являетесь пенсионером по возрасту, то ст. 59 ТК РФ допускает заключение срочных трудовых договоров с пенсионерами по возрасту, но только с вновь поступающими на работу. Если же Вы работали в организации по договору, заключенному на неопределенный срок, работодатель не вправе перезаключать с Вами трудовой договор на срок в связи с достижением пенсионного возраста. Следовательно, ежегодное заключение трудовых договоров в Вашем случае незаконно.
Введение новой системы оплаты труда является основанием для изменения условий трудового договора, посвященных заработной плате. Но в связи с этим не заключается новый трудовой договор, а составляется дополнительное соглашение к трудовому договору.
Во-вторых, конечно же, размер оплаты труда не может быть установлен «исключительно на основе объективности директора школы». Оплата труда работников муниципальных образовательных учреждений регулируется на уровне местного самоуправления, например, Постановлением Администрации города (района). Конкретные особенности системы оплаты зависят от Вашего региона, говорить о них сложно, надо посмотреть Ваше Положение об оплате труда. Однако, в основных чертах, это регулирование во всех городах (районах) сходно. Так, заработная плата включает в себя оклад, компенсационные и стимулирующие выплаты (доплаты, надбавки, премии). Из этих трех частей заработной платы только размеры и порядок выплаты стимулирующих выплат устанавливаются на уровне школы (остальное - определяется централизованно - на уровне города (района)). Для этого в школе принимается специальный локальный нормативный акт, который должен быть согласован с профсоюзной организацией и, зачастую, с органами местного самоуправления. Конечно, доля усмотрения директора при назначении стимулирующих выплат возможна, но это усмотрение не носит абсолютного характера, он должен действовать на основании указанного локального нормативного акта.
В-третьих, неподписание Вами трудового договора не означает прекращения с Вами трудовых отношений. Для прекращения трудовых отношений существует законодательно установленный перечень оснований (ст. 79 ТК РФ). Такого основания, как неподписание трудового договора работником, там не закреплено. Даже если с Вами был заключен трудовой договор сроком на один год (что, как было отмечено выше, уже само по себе незаконно), то по истечении этого срока, если Вы фактически продолжаете работать, то трудовой договор считается заключенным, причем на неопределенный срок, независимо от факта его подписания Вами. Это правило сформулировано в ст. 58 ТК РФ.