Полагаю, что в данном случае имеет смысл опираться на положения ст.19.1 ТК РФ, согласно которой неустранимые сомнения при рассмотрении судом споров о признании отношений, возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями толкуются в пользу наличия трудовых отношений. В вашем случае наличие трудовых отношений с сезонными работниками есть уже состоявшийся факт, поэтому перевод этих отношений в гражданско-правовую плоскость однозначно будет расценен судом не в вашу пользу.
В соответствии со ст.15 ТК РФ заключение гражданско-правовых договоров, фактически регулирующих трудовые отношения между работником и работодателем, не допускается.
Думаю, имеет смысл также попробовать для защиты своих прав подключить к разрешению данного вопроса наблюдательный совет автономного учреждения (ст.10 Закона от 03.11.2006 № 174-ФЗ). Согласно положениям ст.11 данного закона вопросы формирования штатного расписания прямо не отнесены к компетенции наблюдательного совета, однако такие вопросы могут быть сопряжены с вопросами финансово-хозяйственной деятельности учреждения.