Запись в трудовой книжке подтверждает только то, что Вы определенное время отработали по определенной специальности у определенного работодателя.
Действительной запись в трудовой книжке будет лишь тогда, когда есть соответствующее основание для возникновения трудовых отношений (трудовой договор, фактческий допуск к работе с ведома работодателя и др.). Причем наличие записи в трудовой книжке отнюдь не гарантирует, что работодатель будет уплачивать за Вас налоги и взносы на обязательное пенсионное и медицинское страхование, страхование от несчастных соучаев на производстве. Скорее всего, судя по описанной ситуации, работодатель и не желает этого делать, иначе он бы заключил трудовой договор.
Конечно, существует возможность привлечь работодателя к администратвиной (налоговой) ответственности за неуплату налога на доходы физических лиц, страховыхвзносов, но Вам от того лучше не будет, поскольку застрахованному (работнику) важен сам факт уплаты взносов. В Вашей ситуации следует с опасением отнестись к столь сомнительному предложению. Ведь ко всему прочему никто не помешает Вашему работодателю просто не внести никакую запись в трудовую книжку, и Вы об этом, судя по предложению Вашего работодателя, и не будете знать.